Wasser, Getränk abkühlen lassen - Dauer berechnen

Rechner für die Zeit die es braucht, bis heißes Wasser oder ein heißes Getränk auf eine Temperatur abkühlt. Die Abkühlung geht zunächst schnell vonstatten und wird in Richtung Raumtemperatur hin immer langsamer.
Bitte die drei Temperaturen, das Volumen und den Durchmesser des Glases oder der Tasse angeben. Die Starttemperatur ist jene, mit der das Getränk zubereitet wurde, sie liegt unter 100 Grad. Die Endtemperatur ist die, auf deren Erreichen gewartet wird, sie muss mindestens 1 Grad höher als die Umgebungstemperatur sein. Letztere ist schließlich die der Luft dort wo man sich gerade befindet. Das Volumen ist der tatsächliche Inhalt der Flüssigkeit, nicht das, was in das Gefäß reinpassen würde. Der Durchmesser schließlich bezieht sich auf die Öffnung runder Gefäße, für andere Formen kann die Größe der Oberfläche direkt eingegeben werden. Die unteren vier Werte können angepasst werden, wenn man sich mit diesen auskennt.
Diese Berechnung ist lediglich eine Näherung, die auf Newtons Abkühlungsgesetz basiert. Eine exakte Berechnung ist nicht möglich.

Die Formel zur Berechnung lautet: t = -ln[(T_e-T_u)/(T_s-T_u)]*c*ρ*v/A/h

Mehrere Dinge sind zu beachten:
• das Gefäß, in welche die heiße Flüssigkeit geschüttet wird, hat zumeist eine wesentlich niedrigere Temperatur, so dass die Flüssigkeit quasi sofort merklich herunterkühlt. Bei einem Test wurde kochendes Wasser in eine Tasse mit Zimmertemperatur geschüttet, die Starttemperatur lag dann bei 78 Grad.
• die Angaben gelten für Wasser. Tee oder Kaffee haben kaum andere Werte, wenn sich jedoch Zucker, Fett (z.B. Milch) oder Alkohol in der Flüssigkeit befindet ändern sich die Wärmekapazität, Wärmeübergangskoeffizient und Dichte. Besonders die ersten beiden sind sehr schwer zu ermitteln. Die Näherung wird dann ungenauer.
• für den Wärmeübergangskoeffizienten ist es schwierig, den passenden Wert zu finden und die Literaturangaben schwanken stark. Hier wurde auf der Grundlage eigener Messungen mit 300 ml heißem Wasser in einer Tasse mit 8 Zentimeter Öffnung ein Wert von um die 120 ermittelt.
• um es richtig kompliziert zu machen: Wärmekapazität, Wärmeübergangskoeffizient und Dichte haben keine festen Werte, sondern verändern sich mit der Temperatur. Dies mathematisch korrekt abzubilden würde Differentialgleichungen erfordern. Hier wird mit Mittelwerten gearbeitet.

Starttemperatur T_s:		°C
Umgebungstemperatur T_u:		°C
Endtemperatur T_e:		°C
Volumen V:		ml
Durchmesser d:		cm

Zeit t: min, s
Wärmekapazität c:		J/(kg*°C)
Wärmeübergangskoeffizient h:		W/(m²*°C)
Oberfläche A:		m²
Dichte ρ:		kg/m³