Der Zentralbinomialkoeffizient oder mittlere Binomialkoeffizient ist der Binomialkoeffizient, welcher für einen geradzahligen oberen Wert am größten ist. Der Binomialkoeffizient für einen gegebenen oberen Wert ist dann am größten, wenn der untere Wert halb so groß wie der obere ist und da beide Werte natürliche Zahlen sein müssen ist dies nur möglich, wenn der obere Wert gerade ist. Daher wird beim Zentralbinomialkoeffizienten der obere Wert auf den unteren bezogen, es ist zu beachten, dass bei diesem oben 2n und unten n steht, dagegen beim Binomialkoeffizienten oben n und unten k. Die eigentliche Berechnung ist die gleiche.
| ( | 2n | ) | = | (2n)! |
| n | (n!)2 |
Geben Sie für n eine natürliche Zahl (positive ganze Zahl) ein und klicken Sie dann auf Berechnen, um den Zentralbinomialkoeffizienten zu errechnen.
Der Zentralbinomialkoeffizient gibt die maximale Anzahl der Möglichkeiten für eine Teilmenge aus einer 2n-elementigen Menge an. Die mittlere Spalte in dem Pascal'schen Dreieck gibt die aufsteigende Folge der Zentralbinomialkoeffizienten an, diese sind dort der mittlere Wert einer jeden ungeraden Zeile.
Ein Beispiel für die Anwendung des Zentralbinomialkoeffizienten ist das Folgende: ein autonomer Roboter soll sich auf einem quadratischen Gitter bewegen und darf dabei nur nach rechts oder nach oben fahren, jeweils ein Feld nach dem anderen. Er soll einen Weg von der linken unteren Ecke des Gitters zur rechten oberen finden. Wenn das Gitter beispielsweise 10 × 10 Felder groß ist, dann gibt es viele mögliche Wege mit jeweils 10 Schritten nach rechts und 10 Schritten nach oben, also insgesamt 20 Schritten. Die Anzahl aller unterschiedlichen Routen ergibt sich aus der Kombination dieser Schritte, nämlich aus dem Zentralbinomialkoeffizienten. Dies sind insgesamt 184.756 mögliche verschiedene, aber gleich lange Wege, welche der Roboter vom Start bis zum Ziel zurücklegen kann.
Fälle, bei denen der Zentralbinomialkoeffizient ebenfalls auftritt, sind neben der Pfadplanung die Komplexität bei einer Parallelverarbeitung und Zufallsprozesse in der Finanzmathematik.
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Siehe auch Statistik-Rechner, Wahrscheinlichkeiten: Ziehen mit/ohne Zurücklegen
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