Subfakultät berechnen

Die Subfakultät, manchmal auch als Derangement bezeichnet, gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt unterscheidbare Objekte so neu anzuordnen, dass keines dieser Objekte an seinem ursprünglichen Platz verbleibt. In mathematischer Sprache bedeutet dies die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen. Permutationen sind Kombinationen, bei denen es auf die Reihenfolge ankommt, mit fixpunktfrei ist gemeint, dass kein Punkt da verbleibt, wo er war. Die Schreibweise ist !n, also steht im Gegensatz zu der Fakultät das Ausrufezeichen vor und nicht hinter dem Wert. Die Subfakultät eines Wertes ist immer geringer als die Fakultät eines Wertes, da deren Definition ja weniger Möglichkeiten der Anordnung zulässt. Die Formel für die Berechnung der Subfakultät ist um einiges komplizierter als jene für die Berechnung der Fakultät. Neben der Fakultät enthält diese Formel die Summenfunktion Σ. Dazu kommt eine Exponentialfunktion, welche einfach immer nur das Vorzeichen eines jeden Summenglieds ändert.

!n = n!	n		(-1)k k!
	Σ
	k=0

Geben Sie eine natürliche Zahl (positive ganze Zahl) ein und klicken Sie auf Berechnen, um die Subfakultät zu errechnen.

n: !


Die Subfakultät ist:

Das ist:

Die Schreibweise xe+y steht für x*10^y

Es existiert auch eine rekursive Formel für die Berechnung von Subfakultäten, welche zum Rechnen oft besser geeignet ist als die obige Summenformel. Diese lautet !0=1, !1=0, !n=(n−1)(!(n−1)+!(n−2)) für n≥2.
Für große n gilt !n≈n!/e, wobei groß hier schon ab etwa 10 bedeutet. Bei n=20 ist die Abweichung schon verschwindend gering. Die Eulersche Zahl e findet sich hier, da obige Summe ohne das vorangestellte n! die Reihenentwicklung von 1/e ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer einigermaßen großen Zahl von Elementen, welche zufällig vermischt werden, keine an ihrem ursprünglichen Platz ist, ist also 1/e, das ist 0,367879 oder etwa 36,79 Prozent. Das gilt bei 10 genauso wie bei einer Millionen Objekten.

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Alle Angaben ohne Gewähr | English: Combinatorics and Statistics Functions

Siehe auch Statistik-Rechner, Wahrscheinlichkeiten: Ziehen mit/ohne Zurücklegen

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