Eine Lah-Zahl zählt, auf wie viele Arten man n verschiedene Dinge in k geordnet sortierte Gruppen aufteilen kann. Die Reihenfolge innerhalb einer Gruppe spielt hier also eine Rolle, die Reihenfolge der Gruppen allerdings nicht. Lah-Zahlen wurden 1955 das erste Mal von dem slowenischen Versicherungsmathematiker Ivo Lah beschrieben.
Folgende Eigenschaft ist mathematisch abstrakter: die Lah-Zahlen beschreiben die Zusammenhangskoeffizienten zwischen steigenden und fallenden Fakultäten. Eine steigende Fakultät wird von unten nach oben gerechnet, also 1*2*3*...*n, die fallende Fakultät von oben nach unten, also n*(n-1)*...*1. Wenn man nun eine steigende durch fallende Fakultäten oder anders herum ausdrücken möchte, dann benötigt man die entsprechenden Lah-Zahlen.
| Ln,k = | ( | n-1 | ) | n! |
| k-1 | k! |
Geben Sie für n und k natürliche Zahlen (positive ganze Zahlen) ein. n muss größer als k sein. Klicken Sie dann auf Berechnen, um die Lah-Zahl zu errechnen.
Ein Beispiel: eine Gruppe von zwölf Personen wird in drei Teams aufgeteilt. Dabei müssen die Teams nicht gleich groß sein, jede Kombination ist erlaubt, leere Teams sind aber verboten, ein Team muss mindestens ein Mitglied haben. Die Anzahl der Elemente je Gruppe, also Personen je Teams, wird für diese Berechnung nicht benötigt. Es gilt hier also n=12 und k=3. Jede Person in jedem Team muss eine Präsentation innerhalb des Teams halten, die verschiedenen Teams sind unabhängig voneinander und nicht unterscheidbar. Die Teams haben also keine Reihenfolge, die Mitglieder innerhalb eines jeden Teams schon. Wenn die Teams unterscheidbar wären, dann müsste man noch mit 3!, also 6 multiplizieren.
Die Lah-Zahl L12,3 gibt nun an, wie viele Möglichkeiten der Reihenfolge der Präsentationen es insgesamt gibt. Dies sind 4.390.848.000, also knapp 4,4 Milliarden. Diese Zahl ist deswegen so hoch, weil es zunächst natürlich sehr viele Möglichkeiten gibt, zwölf Personen in drei Teams aufzuteilen. Dieser Wert wird durch die Stirling-Zahl erfasst, deren Berechnung komplizierter als die der Lah-Zahl ist. Nun wird die Anzahl nochmal erhöht durch die verschiedenen Möglichkeiten der Reihenfolgen innerhalb der einzelnen Gruppen.
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Siehe auch Statistik-Rechner, Wahrscheinlichkeiten: Ziehen mit/ohne Zurücklegen
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