Der Binomialkoeffizient ist ein wichtiges Maß aus der Kombinatorik, welcher auf Fakultäten basiert. Mit dem Binomialkoeffizienten lässt sich die Anzahl an Kombinationen berechnen, welche sich ergibt, wenn man eine Anzahl von Elementen aus einer Menge zieht und alle Elemente unterschiedlich sind. Der Binomialkoeffizient wird als n über k ausgesprochen. Bei der Berechnung wird die Fakultät der gesamten Anzahl der Elemente durch die Fakultät der Anzahl der gezogenen Elemente und durch die Fakultät der Anzahl der verbleibenden Elemente geteilt.
| ( | n | ) | = | n! |
| k | (k!(n-k)!) |
Mathematisch ausgedrückt ist dies die Anzahl der Möglichkeiten, eine k-elementige Teilmenge aus einer n-elementigen Menge zu bilden, oder ein Ziehen ohne Zurücklegen mit k Ziehungen aus n Elementen.
Geben Sie für n und k natürliche Zahlen (positive ganze Zahlen) ein. n sollte größer als k sein. Klicken Sie dann auf Berechnen, um den Binomialkoeffizienten zu errechnen.
Das bekannteste Beispiel für die Anwendung des Binomialkoeffizienten ist in Deutschland sicherlich Lotto 6 aus 49. Hierbei werden 6 von 49 Kugeln gezogen, wobei diese Kugeln durchnummeriert, also eindeutig unterscheidbar sind. Dabei gibt es 49 über 6 verschiedene Kombinationen, das sind knapp 14 Millionen. Die Zusatzzahl wird hier ignoriert, sie würde diese Anzahl einfach verzehnfachen. Die Wahrscheinlichkeit auf sechs Richtige mit einem ausgefüllten Feld beträgt 1 geteilt durch diese 13983816. Die Wahrscheinlichkeiten für eine geringere Anzahl an Richtigen sind etwas komplizierter zu berechnen. Für 5 Richtige ist die Berechnungsformel mit Binomialkoeffizienten 6 über 5 mal 43 über 1 für die Anzahl an erwünschten Möglichkeiten. Das sind 258. Insgesamt gibt es immer noch 13983816 Möglichkeiten, die Chance auf einen Fünfer im Lotto ist also 258 zu 13983816, das sind etwa 0,0018 Prozent.
Der Binomialkoeffizient ist dann besonders groß, wenn zum einen natürlich n sehr groß ist, zum anderen k in der Nähe von n/2 liegt. Wenn k dagegen sehr klein oder nahe an n ist, dann ist der Binomialkoeffizient klein. Für k=n oder k=0 ist er 1, für k=n-1 oder k=1 ist er n. Weiterhin gilt, dass der Binomialkoeffizient für k=x und k=n-x gleich ist. Für k>n oder k<0 ist er 0, da es dann keine passenden Möglichkeiten gibt.
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Siehe auch Statistik-Rechner, Wahrscheinlichkeiten: Ziehen mit/ohne Zurücklegen
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