Folgezahlen addieren

Rechner zum Addieren aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen mit frei wählbarem Start und Ende. Als Beispiel sind 1 und 10 voreingestellt, die Summe aller ganzer Zahlen von 1 bis 10 ist 55. Dies ist ein spezieller Fall einer Summenfunktion.

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Anstatt die Zahlen eine nach der anderen aufzuaddieren, verwendet dieser Rechner eine Formel zur Berechnung. Das ist wesentlich weniger Rechenaufwand. Bei einem Startwert a und Endwert z ist die Formel für die Summe der Folgezahlen (a+z)*(z-a+1)/2, dies ist eine Abwandlung der Gaußschen Summenformel.
Die Begründung für diese Formel ist: addiert man die Werte nicht in der Reihenfolge, sondern den ersten zum letzten (a+z), den zweiten zum vorletzten (a+1+z-1), und so weiter, dann erhält man immer gleiche Zwischensummen. Die Anzahl dieser Zwischensummen ist die Hälfte der Anzahl der ursprünglichen Werte, das ist (z-a+1)/2. Auch wenn die Anzahl der Werte ungerade ist stimmt diese Formel, da dann der mittlere Wert genau (a+z)/2 ist.

Die Gaußsche Summenformel lautet Σk=(n²+n)/2 für die Summe aller natürlichen Zahlen k von 1 bis n. Obige Formel wurde so abgewandelt, dass man nicht bei 1 anfangen muss. Diese simple Formel wurde nicht von Carl Friedrich Gauß entdeckt, sondern war bereits in der frühen Antike bekannt. Es gibt aber in Verbindung mit Gauß folgende Anekdote:
Ein Mathematiklehrer gab seinen jungen Schülern die Aufgabe, die natürlichen Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Für diese Aufgabe wurde im Allgemeinen die ganze Schulstunde benötigt. Der kleine Carl Friedrich meldete aber nach ein paar Sekunden, er hätte die Aufgabe gelöst. Zur großen Überraschung des Lehrers war sein Ergebnis richtig. Gauß hatte die Zahlen von außen anfangend paarweise addiert, also 1 und 100, dann 2 und 99 und währenddessen festgestellt, dass jeweils 101 herauskommt, dies insgesamt 50 Mal. Das Ergebnis ist also 5050.

Zuletzt aktualisiert am 21.05.2025. Autor: Jürgen Kummer

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