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Anleitung für die Erstellung von Funktionsgraphen (Mathematik / Analysis)

Empirischer Plotter für Mathematische Funktionen.

Aus Gründen der Überlastung kann der Plotter keine extrem rechenaufwändigen Funktionen, wie die Gammafunktion und jene, welche diese benutzen, mehr darstellen. Diese finden sich aber noch im Quellcode.

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Inhalt:
Syntax
Konstanten
Funktionen
Grundfunktionen
Trigonometrische und hyperbolische Funktionen
Nicht differenzierbare Funktionen
Wahrscheinlichkeitsfunktionen und Statistik
Sonderfunktionen
Programmierbare Funktionen
Iterationen & Fraktale
Differentialgleichungen - Integralgleichungen
Einstellen der Anzeige
Einzelnen Wert ausrechnen
Laden & Speichern
Tricks & Spaß

Mit dem Programm zur Erstellung von Funktionsgraphen (Plotter) lassen sich Graphen zu mathematischen Funktionen zeichnen. Es können bis zu drei Graphen in einem Bild dargestellt werden. Dazu sind Eingabefelder für drei Formeln vorhanden. Um alle Funktionalitäten des Plotters nutzen zu können, empfiehlt es sich, JavaScript zu aktivieren.

Zeichnen malt den Graph, Zurücksetzen setzt alle Werte auf den Ausgangswert und Standard setzt Anzeigewerte zurück.

Syntax

Die Formeln f(x), g(x) und h(x) können folgende Zeichen enthalten:

x Funktionsvariable x
0-9 Zahlen, z.B. 123,45 Die Eingabewerte sind quasi kaum beschränkt (solange nicht mehr als 300 Stellen oder so erreicht werden). Der Ausgabewert (Ergebnis) bei einer nicht-logarithmischen Skala kann bis zu 100000 (und -100000) betragen, dies ist auch der Maximalwert für beide Achsen.
Sehr große Zahlen können z.B. als 2.5E20 für 2.5*10²⁰ geschrieben werden, sehr kleine wie 3E-10 für 3*10^-10. Nachkommastellen sind bis auf eine Anzahl von 12 genau.
, . Komma oder Punkt als Dezimaltrennzeichen, z.B. 1,5 oder 1.5
( ) [ ] { } < > Klammern, z.B. {[(1+x)/(2-x)+1]*3}/(2*x^2) , sind erlaubt in beliebiger Anzahl. Jede geöffnete Klammer muss wieder geschlossen werden. Welche Art von Klammern benutzt wird, ist egal.

# als Trennzeichen in Formeln mir mehreren Eingabewerten, z.B. scir(x#2)
asy senkrechte Asymptote für einen gegebenen festen Wert, z.B. asy(1) oder asy(e)
Q Substitution für eine selbstdefinierte Formel.

- Grundrechenarten

+ Plus, z.B. x+1
- Minus, z.B. 1-x
* Mal, dieses darf nur weggelassen werden, wenn es zwischen einer Zahl und einem Buchstaben steht. Z.B. kann 2x statt 2*x geschrieben werden, aber nicht xsin(x) oder ex.
/ : Geteilt durch, z.B. 1/x oder 1:x

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Konstanten

e Eulersche Zahl: 2,718281828459
pi π, Pi: 3,1415926535898
pi2 π/2, Pi/2: 1.5707963267949
sq2 Wurzel aus 2: 1,4142135623731
go Verhältnis des Goldenen Schnittes: 1,6180339887499
d Feigenbaum-Konstante delta: 4,6692016091030

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Funktionen

Verschachtelte Funktionen wie sin(pow(x#2/3)) oder Polynome wie 2*x^3-4*x^2+x+1 sind ohne weiteres möglich. Bei Funktionen mit mehreren Variablen, wie z.B. norm, kann das x an einer oder an mehreren beliebigen Stellen stehen. Die herkömmliche Position für das x wird in den Beispielen gezeigt.

- Grundfunktionen

^ oder pow Potenz, z.B. x^2 oder pow(x#2) für x². Eine Wurzel kann man schreiben als z.B. x^(1/2) oder x^.5 für Quadratwurzel aus x, eine Exponentialfunktion beispielsweise so: e^x für e^x.
Wurzeln aus negativen Werten können nur dargestellt werden, wenn der Zähler der Potenz 1 und der Nenner der Potenz ungerade ist (z.B. x^(1/3) ). Um negative x-Werte für z.B. x^(2/3) berechnen zu können, muss diese Funktion in (x^(1/3))^2 umgewandelt werden.
sqr Quadratwurzel, z.B. sqr(x) als Synonym für x^(1/2).
exp Exponent, z.B. exp(x) als Synonym für e^x.
log Logarithmus Naturalis, z.B. log(x)
log10 Dekadischer Logarithmus, z.B. log10(x)
logn Logarithmus zur Basis n, z.B. logn(2#x) für den binären (Basis 2) Logarithmus.

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- Trigonometrische und hyperbolische Funktionen

sin Sinus, z.B. sin(x)
cos Cosinus, z.B. cos(x)
tan Tangens, z.B. tan(x)
cot Kotangens, z.B. cot(x)
sin2 Sinusquadrat, z.B. sin2(x)
cos2 Cosinusquadrat, z.B. cos2(x)
tan2 Tangensquadrat, z.B. tan2(x)
cot2 Kotangensquadrat, z.B. cot2(x)
arcsin Arcus Sinus, z.B. arcsin(x)
arccos Arcus Cosinus, z.B. arccos(x)
arctan Arcus Tangens, z.B. arctan(x)
arccot Arcus Kotangens, z.B. arccot(x)
sinh Sinus Hyperbolicus, z.B. sinh(x)
cosh Cosinus Hyperbolicus, z.B. cosh(x)

tanh Tangens Hyperbolicus, z.B. tanh(x)
coth Kotangens Hyperbolicus, z.B. coth(x)
arsinh Areasinus Hyperbolicus, z.B. arsinh(x)
arcosh Areacosinus Hyperbolicus, z.B. arcosh(x)
artanh Areatangens Hyperbolicus, z.B. artanh(x)
arcoth Areakotangens Hyperbolicus, z.B. arcoth(x)
sec Sekans, z.B. sec(x)
cosec Kosekans, z.B. cosec(x)
arcsec Arcus Sekans, z.B. arcsec(x)
arccosec Arcus Kosekans, z.B. arccosec(x)
sech Sekans Hyperbolicus, z.B. sech(x)
cosech Kosekans Hyperbolicus, z.B. cosech(x)
arsech Areasekans Hyperbolicus, z.B. arsech(x)
arcosech Areakosekans Hyperbolicus, z.B. arcosech(x)

cat Kettenlinie oder Katenoide, z.B. cat(2#x) für 2*cosh(x/2). Der erste Wert ist die Konstante a.
gd Gudermannfunktion, z.B. gd(x) für arctan(sinh(x))
siv Semiversus, z.B. siv(x) für sin2(x/2)
sinc Sinus cardinalis, z.B. sinc(x) für sin(x)/x
tanc Tanc Funktion oder Tangens cardinalis, z.B. tanc(x) für tan(x)/x.
hubb Hubbert Kurve, z.B. hubb(x) für 1/(2+2*cosh(x))
L Langevin Funktion, z.B. L(x) für coth(x)-1/x.

deg Rechnet einen Winkel von Bogenmaß in Grad um, z.B. deg(pi)
rad Rechnet einen Winkel von Grad in Bogenmaß um, z.B. rad(180)

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- Nicht differenzierbare Funktionen

abs Absoluter Betrag, z.B. abs(x)
min Minimum aus mehreren Werten, z.B. min(1#x#x^(1/3)) als Minimum aus 1, x und Dritter Wurzel aus x.
max Maximum aus mehreren Werten, z.B. max(abs(x)#x*x) als Maximum aus dem Betrag von x und x².
% Modulodivision, ganzzahliger Rest, z.B. 10%x
fmod Modulodivision, Fließkommarest, z.B. fmod(x#1) stellt nur die Nachkommastellen der Eingabewerte dar.
R Runden, z.B. R(x#2) rundet auf zwei Nachkommastellen, R(x) rundet auf eine ganze Zahl.
R0 Abrunden (floor), z.B. R0(x)
R1 Aufrunden (ceil), z.B. R1(x)
dist Distanzfunktion, z.B. dist(x) errechnet den Abstand zur nächsten ganzen Zahl.
prime Primzahlfunktion, z.B. prime(x) gibt für alle x≥2 und x≤100000 die nächstniedrigere Primzahl zurück (oder x, wenn dies eine Primzahl ist). Bei allen vier Primzahlfunktionen werden nicht-natürliche Zahlen gerundet.
prime1 Primzahlsuchfunktion, z.B. prime1(x) Gibt einen Wert nur dann zurück, wenn es sich um eine Primzahl handelt, ansonsten 0. Um alle Primzahlen in einem Intervall zu finden, sollte der Wertebereich der x-Achse nicht größer sein als die Bildbreite (normalerweise 500) und die Polstellen sollten deaktiviert sein.
prime2 Eindeutige Primfaktorzählfunktion, z.B. prime2(x) gibt die Anzahl der unterschiedlichen Primfaktoren zurück.
prime3 Primfaktorzählfunktion, z.B. prime3(x) gibt die Anzahl der Primfaktoren zurück, mehrfache eingeschlossen. Beispielsweise ist prime2(4) = 1, wogegen prime3(4) = 2. Wenn prime3(x) = 1, dann ist x eine Primzahl.
div Teilerfunktion, z.B. div(x) gibt die Anzahl der Teiler einer natürlichen Zahl zurück. Nicht-natürliche Zahlen werden gerundet.
dig Quersumme, z.B. dig(x) gibt die Quersumme einer natürlichen Zahl zurück. Nicht-natürliche Zahlen werden gerundet, - wird ignoriert.
dig2 Iterierte (einstellige) Quersumme, z.B. dig2(x) gibt die iterierte Quersumme einer natürlichen Zahl zurück.
adig Alternierende Quersumme, z.B. adig(x) Nicht-natürliche Zahlen werden gerundet, - wird ignoriert.
fac Fakultät, z.B. fac(x) Nicht natürliche Zahlen als Eingabewerte werden gerundet.
H Heaviside-Stufenfunktion, z.B. H(x) 0, wenn x≤0, sonst 1
Hm Multivariate Heaviside-Stufenfunktion, z.B. Hm(x*x-1#sin(x)): 0, wenn mindestens ein Wert ≤0, sonst 1. Geben Sie so viele Werte an, wie Sie möchten.
sig Signumfunktion (Vorzeichenfunktion), z.B. sig(x)
haar Haar wavelet, z.B. haar(x)
ggt Größter gemeinsamer Teiler (englisch gcf), z.B. ggt(8#x) gibt den größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen zurück. Nicht-natürliche Zahlen werden gerundet.
kgv Kleinstes gemeinsames Vielfache (englisch lcm), z.B. kgv(8#x) gibt das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen zurück. Nicht-natürliche Zahlen werden gerundet.
mo Möbiusfunktion, z.B. mo(x) gibt für alle positiven ganzen Zahlen Null zurück, wenn diese ein Quadrat>1 als Teiler haben, -1 bei einer ungeraden Anzahl verschiedener Primfaktoren und 1 bei einer geraden Anzahl verschiedener Primfaktoren. Nicht-natürliche Zahlen werden gerundet. Werte bis 100000 sind erlaubt.
toti Totient, Eulersche Funktion, z.B. toti(x) zählt alle ganzen Zahlen kleiner als x, die zu x teilerfremd sind. Nicht-natürliche Zahlen werden gerundet.
odd Ungerade Zahlen, e.g. odd(x) gibt eine Zahl nur zurück, wenn sie ungerade ist. Nicht-natürliche Zahlen werden gerundet.
even Gerade Zahlen, e.g. even(x) gibt eine Zahl nur zurück, wenn sie gerade ist. Nicht-natürliche Zahlen werden gerundet.
bin Binomialkoeffizient, z.B. bin(4#x) Die beiden Werte sind n und k.
tri Dreieckskurve, z.B. tri(1#2#x) Der erste Wert gibt die Periode an, der zweite die Amplitude.
rect Rechteckskurve, z.B. rect(1#-1#2#x) Der erste Wert gibt die obere Schranke an, der zweite die untere, der dritte die Periode.
saw Sägezahnfunktion, z.B. saw(2#1#x) Der erste Wert gibt die Periode an, der zweite die Amplitude.
saw2 Umgekehrte Sägezahnfunktion, z.B. saw2(2#1#x) Der erste Wert gibt die Periode an, der zweite die Amplitude.
ramp Rampenfunktion, z.B. ramp(1#2#1#x) Der erste Wert gibt den Startwert an, der zweite den Endwert und der dritte die Höhe.
ramp2 Umgekehrte Rampenfunktion, z.B. ramp2(1#2#1#x) Der erste Wert gibt den Startwert an, der zweite den Endwert und der dritte die Höhe.
trap Trapezfunktion, z.B. trap(-4#-1#3#2#3#x) Der erste Wert ist der Startwert des Anstieges, der zweite der Endwert des Anstieges, der dritte ist die Höhe, der vierte ist der Startwert des Abstieges und der fünfte ist der Endwert des Anstieges.
poly Polygon- oder Diagrammlinie, z.B. poly(-4#2#-3#4#-2#1#-1#0#0#3#1#2#2#-1#3#3#4#1#x) gibt ein Diagramm bzw. ein halbes Polygon aus. Hier wird (-4,2) mit (-3,4) verbunden, dieser Punkt dann mit (-2,1) und so weiter. Der erste Wert jeden Paares ist der x-Wert, der zweite der y-Wert. Die x-Werte müssen mit jedem Schritt zunehmen. Um ein ganzes Polygon zu erhalten, geben Sie einen zweiten Term mit den gleichen Start- und Endpunkten ein, wie poly(-4#2#0.5#-4#4#1#x)
rand Ganze Zufallszahl zwischen zwei ganzzahligen Werten, z.B. rand(0#2) gibt 0, 1 oder 2 zurück (Mersenne Twister wird zur Erzeugung verwendet).
rand2 Zufallszahl zwischen zwei Werten mit Nachkommastellen (maximal 9), z.B. rand2(0#1#3) gibt eine Zahl mit drei Nachkommastellen zwischen 0 und 1 zurück (auch Mersenne Twister).

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- Wahrscheinlichkeitsfunktionen und Statistik

norm Normalverteilung oder Gaußsche Glockenkurve, z.B. norm(0#1#x) für die Standardnormalverteilung. Der erste Wert gibt den Erwartungswert an, der zweite die Standardabweichung.
phi Φ, das Integral der Normalverteilung oder die aufsummierte Normalverteilung, z.B. phi(0#1#x) Dies ist eine Näherungsfunktion auf den abgebildeten Ausschnitt. Sie liefert dann sinnvolle Werte, wenn die Normalverteilung im gewählten Bereich bei sehr niedrigen y-Werten nahe 0 beginnt. Eine gemeinsame Darstellung mit der Normalverteilungskurve ist ratsam.
lnorm Logarithmische Normalverteilung, z.B. lnorm(0#1#x) Der erste Wert gibt den Schwerpunkt an, der zweite die Standardabweichung.
cau Cauchy-Verteilung oder Lorentz-Kurve, z.B. cau(0#1#x) für die Standard-Cauchy-Verteilung. Der erste Wert gibt das Zentrum an, der zweite den Breitenparameter.
lapc Laplace-Verteilung, z.B. lapc(0#1#x) Der erste Wert gibt den Lageparameter an, der zweite den Skalenparameter. Der zweite Parameter muss >0 sein.
logd Logistische Verteilung, z.B. logd(1#2#x) Der erste Wert gibt den Lageparameter an, der zweite den Skalenparameter.
hlogd Halblogistische Verteilung, z.B. hlogd(x)
rlng Erlang-Verteilung, z.B. rlng(5#1#x) Der erste Wert gibt den Formparameter an, der zweite den Maßparameter. Der erste Wert muss eine natürliche Zahl sein.
pon Exponentialverteilung, z.B. pon(1#x) Der erste Wert gibt den Maßparameter an.
cosd Cosinusverteilung, z.B. cosd(0#1#x) Der erste Wert gibt den Lageparameter an, der zweite den Skalenparameter. cosd ist definiert in dem Intervall [Lageparameter-Skalenparameter;Lageparameter+Skalenparameter].
sechd Sekans Hyperbolicus Verteilung, z.B. sechd(x)
kum Kumaraswamy Verteilung, z.B. kum(2#3#x) Die ersten beiden Werte sind die Formparameter a und b.
levy Lévy Verteilung, z.B. levy(1#x) Der erste Wert gibt den Skalenparameter an.
rlgh Rayleigh Verteilung, z.B. rlgh(1#x) Der erste Wert gibt den Skalenparameter an.
wb Weibull Verteilung, z.B. wb(2#1#x) Der erste Wert gibt den Formparameter, der zweite den Skalenparameter an.
wig Wigner Halbkreis-Verteilung, z.B. wig(1#x) Der erste Wert gibt den Radius an.
igauss Inverse Gaußverteilung, z.B. igauss(1#0,25#x) Der erste Wert ist der Formparameter, der zweite der Skalenparameter.
par Pareto-Verteilung, z.B. par(2#1#x) Der erste Wert ist der Lageparameter, der zweite der Formparameter.
shg Verschobene Gompertz-Verteilung, z.B. shg(0,5#1#x) Der erste Wert ist der Skalenparameter, der zweite der Formparameter, beide müssen >0 sein.
brw Relativistische Breit-Wigner Verteilung, z.B. brw(1#2#x) Der erste Wert ist die Resonanzmasse, der zweite die Resonanzbreite und der dritte ist die Energie.
gen Generalisierte Extremwertverteilung, z.B. gen(0#1#0,2#x) Der erste Wert ist der Ortsparameter, der zweite ist der Skalenparameter und der dritte ist der Formparameter.
Ft Fisher-Tippett Verteilung, z.B. Ft(1#2#x) Der erste Wert gibt den Lageparameter an, der zweite den Skalenparameter. Der zweite Parameter muss >0 sein.
rossi Rossi-Verteilung oder gemischte Extremwertverteilung, z.B. rossi(0#3#1#4#x) Die ersten vier Werte sind c1, c2, d1 und d2.
gum1 Gumbel Verteilung Typ 1, z.B. gum1(2#1#x) Die ersten beiden Werte sind die Parameter a und b.
gum2 Gumbel Verteilung Typ 2, z.B. gum2(2#1#x) Die ersten beiden Werte sind die Parameter a und b.
trid Dreiecksverteilung, z.B. trid(1#2#4#x) Der erste Wert ist der Minimale, der zweite der Wahrscheinlichste und der dritte der Maximale.

- Diskrete Verteilungen

bind Binomialverteilung, z.B. bind(5#0,4#x) Der erste Wert ist die Anzahl der Versuche, der zweite ist die Erfolgswahrscheinlichkeit.
poi Poisson-Verteilung, z.B. poi(3#x) Der erste Wert ist λ, der zweite ist der Erwartungswert.
skel Skellam-Verteilung, z.B. skel(1#2#x) Die ersten beiden Werte sind die Mittelwerte zweier verschiedener Poisson-Verteilungen.
gk Gauß-Kuzmin Verteilung, z.B. gk(x)
geo Geometrische Verteilung (Variante A), z.B. geo(0,8#x) Der erste Wert ist eine Wahrscheinlichkeit.
hgeo Hypergeometrische Verteilung, z.B. hgeo(8#3#2#x) Der erste Wert ist die gesamte Anzahl der Objekte, der zweite ist die Anzahl der defekten Objekte, der dritte ist die Stichprobengröße und der vierte ist die Anzahl der defekten Objekte in der Stichprobe.
logs Logarithmische Serienverteilung, z.B. logs(0,1#x) Der erste Wert ist eine Wahrscheinlichkeit.
zm Zipf-Mandelbrot Gesetz oder Pareto-Zipf Gesetz, z.B. zm(100#1#2#x) Die ersten drei Werte sind N, q und s. Maximum für N ist 100.
uni Stetige Gleichverteilung, z.B. uni(1#2#x) Der erste Wert gibt die untere Schranke an, der zweite die obere Schranke.

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- Sonderfunktionen

traj Wurfparabel, z.B. traj(45#20#9.81#x) Der erste Wert ist der Winkel, der zweite ist die Geschwindigkeit (z.B. in Meter pro Sekunde). Der dritte Wert ist die Fallbeschleunigung (z.B. in m/s²), der normale Wert hierfür auf der Erde ist g = 9.81 m/s². In diesem Beispiel ist die Achsenskala in Meter. Der Luftwiderstand wird ignoriert.
pll Parallelitätsoperator, z.B. pll(20#30#x) wird unter anderem für die Berechnung von parallelen Stromkreisen und Widerständen benutzt. Geben Sie so viele Werte an, wie Sie möchten.
M1 Arithmetisches Mittel, z.B. M1(2#3#x) Geben Sie so viele Werte an, wie Sie möchten.
M2 Geometrisches Mittel, z.B. M2(2#3#x) Geben Sie so viele Werte an, wie Sie möchten, nur positive Werte sind erlaubt.
M3 Harmonisches Mittel, z.B. M3(2#3#x) Geben Sie so viele Werte an, wie Sie möchten, nur positive Werte sind erlaubt.
M4 Quadratisches Mittel, z.B. M4(2#3#x) Geben Sie so viele Werte an, wie Sie möchten.
M5 Median, z.B. M5(2#3#x) Geben Sie so viele Werte an, wie Sie möchten.
scir Halbkreiskurve, z.B. scir(x#1) für einen Halbkreis mit dem Radius 1. Die Formel ist pow(r*r-x*x#1/2), r bestimmt den Radius.
ell Halbellipsenkurve, z.B. ell(2#1#x) für eine Halbellipse mit dem waagerechten Radius 2 und dem senkrechten Radius 1. Die Formel ist pow((1-x*x/(a*a))*b*b#1/2).
ell2 Halb-Superellipse oder Halb-Hyperellipse, z.B. ell2(2#3#4#x) für eine Halbellipse mit dem horizontalen Radius 2, dem vertikalen Radius 3 und n=4.
lmn Lemniskate von Bernoulli, z.B. lmn(1#x) Dies erzeugt eine halbe Lemniskate. Die andere Hälfte lässt sich mit -lmn(1#x) erzeugen.
lmn2 Lemniskate von Gerono, z.B. lmn2(x) Dies erzeugt eine halbe Lemniskate. Die andere Hälfte lässt sich mit -lmn2(x) erzeugen.
lmn3 Lemniskate von Booth, z.B. lmn3(1#x) Dies erzeugt eine halbe Lemniskate. Die andere Hälfte lässt sich mit -lmn3(1#x) erzeugen.
pyth Satz des Pythagoras, z.B. pyth(x#1) Die Formel ist c=pow(a*a+b*b#1/2).
thr Dreisatz, z.B. thr(x#1#2) Die Formel für thr(a#b#c) ist f(x)=b*c/a.
fib Fibonacci-Zahlen, z.B. fib(x) oder fib(x#1) Wenn der zweite Wert eine 1 ist, wird ein kontinuierlicher Graph ausgegeben, sonst ein diskreter.
dc Exponentieller Zerfall, z.B. dc(5#1#x) Der erste Wert ist der Startwert, der zweite die Zerfallskonstante.
erf Gaußsche Fehlerfunktion, z.B. erf(x) Für die Berechnung wird deren Taylorreihe verwendet.
HY4 Hyper4, auch Tetration oder Superpotenz, z.B. HY4(x#3) für x hoch (x hoch x). Hier kann sehr schnell der zulässige Wertebereich überschritten werden!
lambda Lambda Funktion, z.B. lambda(x#3) für x hoch (x hoch (3-1)).
sgm Sigmoid Funktion, z.B. sgm(x) für 1/(1+e^(-x)).
gom Gompertz Kurve, z.B. gom(2#-5#-3#x) Der erste Wert ist die obere Asymptote, der zweite der Parameter b und der dritte die Wachstumsrate. Zweiter und dritter Wert müssen negativ sein.
eta Dirichlet Eta Funktion, z.B. eta(x)
stir Stirling-Formel für die Näherung an große Fakultäten, z.B. stir(x) Die Formel ist (2*pi*x)^(1/2)*(x/e)^x.
omega Lambert-W Funktion oder Omega-Funktion oder Produktlog (Näherung), z.B. omega(x)
bump Bump-Funktion (Höckerfunktion) psi, ψ, z.B. bump(x) für exp(-1/(1-x*x)) zwischen -1 und 1, sonst 0.
srp Serpentinenkurve, z.B. srp(2#1#x) Die Formel ist a*a*x/(x*x+a*b). Die ersten beiden Werte sind a und b.
bsc Gaußsche Glockenkurve, z.B. bsc(1#x) Die Formel ist exp(-a*a*x*x), der erste Wert ist der Formparameter a.
gbsc Verallgemeinerte Gaußsche Glockenkurve, z.B. gbsc(1#2#-1#x) für 1*exp(2*x-1*x*x).

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- Programmierbare Funktionen

bool Charakteristische Boolsche Funktion, z.B. bool(1/x) gibt nichts zurück, wenn der Eingabewert nicht definiert ist, 0 bei 0 und 1 bei allen anderen Eingabewerten.
bool0 Definierte Boolsche Funktion, z.B. bool0(x) gibt 0 zurück, wenn der Eingabewert 0 ist oder nicht definiert, sonst 1.
bool1 Undefinierte Boolsche Funktion, z.B. bool1(prime1(x)) gibt nichts zurück, wenn der Eingabewert 0 ist oder nicht definiert, sonst 1.
con Bedingungsfunktion, z.B. con(0#sin(x)#1) Der erste Wert ist die Untergrenze, der dritte die Obergrenze. Liegt der zweite Wert zwischen diesen beiden, wird eine 1 ausgegeben, sonst eine 0.
rcon Umgekehrte Bedingungsfunktion, z.B. rcon(0#sin(x)#1) Der erste Wert ist die Untergrenze, der dritte die Obergrenze. Liegt der zweite Wert zwischen diesen beiden, wird eine 0 ausgegeben, sonst eine 1.
wcon Gewichtete Bedingungsfunktion, z.B. wcon(0#sin(x)#1) Gibt den zweiten Wert nur dann zurück, wenn dieser zwischen dem ersten und dem dritten Wert liegt.
rwcon Umgekehrte gewichtete Bedingungsfunktion, z.B. rwcon(0#sin(x)#1) Gibt den zweiten Wert nur dann zurück, wenn dieser nicht zwischen dem ersten und dem dritten Wert liegt.
&& (und) kann mit der Minimum Funktion simuliert werden, z.B. min{ con[0#sin(x)#1] # con[0#cos(x)#1] }
|| (oder) kann mit der Maximum Funktion simuliert werden, z.B. max{ con[0#sin(x)#1] # con[0#cos(x)#1] }
⊕ (xor, exklusives oder) kann mit der Minimum und der Maximum Funktion simuliert werden, z.B.
max{ con[0#sin(x)#1] # con[0#cos(x)#1] } - min{ con[0#sin(x)#1] # con[0#cos(x)#1] }

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- Iterationen (iterative Funktionen)

y Voriger Funktionswert, z.B. bei y(0)+0,01 wird als Startwert für y die 0 genommen, danach der Wert, welcher als Ergebnis für den zuletzt eingesetzten x-Wert herausgekommen ist, und so weiter.
y2 Vorvoriger Funktionswert, z.B. y2(1)+0,001
step Anzahl der erfolgten Iterationsschritte, geteilt durch den Parameterwert, z.B. step(100) zählt hoch bis 5 (bei 500 px Breite).
mean Iteriertes arithmetisches Mittel, z.B. mean(sin(x)) gibt das arithmetische Mittel der bisher errechneten y-Werte zurück.
man Mandelbrot-Funktion, z.B. man(0#-1,9) für y(0)*y(0)-1,9.
Achtung: Ableitung und Integral liefern bei der Iteration keine besonders sinnvollen Ergebnisse. Auch eine logarithmische Skala funktioniert hier nicht.

- Fraktale

rsf Zufällige singuläre Funktion (eine Art Devil's Staircase), z.B. rsf(0#2) für y(a)+0.008*rand(0#1)*rand(0#1)*(b-a), von a (erster Wert) bis b (zweiter Wert) bei 500px Breite. Der erste Wert ist der Startpunkt auf der x-Achse, der zweite ist der durchschnittliche Endpunkt.
wf Weierstrass-Funktion, z.B. wf(x#0,5#17#10) Der zweite Wert ist ein Parameter zwischen 0 und 1, der dritte ist eine ungerade natürliche Zahl. Der zweite multipliziert mit dem dritten muss größer als 1+3/2*pi sein. Der vierte ist die Anzahl der durchzuführenden Iterationsschritte. Theoretisch ist dieser Unendlich, aber hier ist das Maximum 100.
blanc Blancmange-Kurve (Puddingkurve), z.B. blanc(x#10) Der zweite Wert ist die Anzahl der durchzuführenden Iterationsschritte, Maximum ist 1000.
tak Takagi-Landsberg Kurve, z.B. tak(x#0,7#10) Der zweite Wert ist ein Parameter, der zwischen 0 und 1 sein sollte. Der dritte ist die Anzahl der durchzuführenden Iterationsschritte, Maximum ist 1000.

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Differentialgleichungen - Integralgleichungen

Ableitungen innerhalb einer Funktion werden wie folgt geschrieben:

D oder D1 Erste Ableitung, z.B. D(x*x)
D2 Zweite Ableitung, z.B. D2(x^3)
D3 Dritte Ableitung, z.B. D3(x^4)

D0 oder D01 Erste Ableitung, alternative Schreibweise, z.B. D0(x*x)
D02 Zweite Ableitung, alternative Schreibweise, z.B. D02(x^3)
D03 Dritte Ableitung, alternative Schreibweise, z.B. D03(x^4)

Nur eine Ableitung von jeder Art kann in einer Funktion auftauchen. Etwas wie D(...)+D2(...) oder D(...)+D0(...) wird also funktionieren, D(...)+D(...) oder D(...)+D1(...) jedoch nicht.
Ableitungen vierten Grades über eine ganze Funktion lassen sich durch die gleichzeitige Anwendung von 'Ableitung' in der Anzeige und D3() erzeugen, oder z.B. mit D(D3(sin(x))) (aber nicht mit D(D(...))): Das Maximum für sinnvolle Ergebnisse ist siebter Grad, z.B. D(D3(D03(...))).

Integrale innerhalb einer Funktion werden wie folgt geschrieben:
S oder S1 Erstes Integral, z.B. S(x*x)
S2 Zweites Integral, z.B. S2(x)
S3 Drittes Integral, z.B. S3(1)
In einer Funktion kann nur je ein Integral vorkommen. Etwas wie S(...)+S2(...) funktioniert also nicht.
Integrale vierten Grades über eine ganze Funktion lassen sich durch die gleichzeitige Anwendung von 'Integral' in der Anzeige und S3() erzeugen.

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Einstellen der Anzeige

Probieren Sie ruhig herum, Sie können nichts kaputt machen!

Überall, wo eine Farbe ausgesucht werden kann, können Sie auch Transp. (transparent) wählen. Tun Sie dieses allerdings für einen der drei Funktionsgraphen oder den Hintergrund, dann empfiehlt es sich, Antialiasing auszuschalten. Transparenz kann nur in png und in gif Bildern dargestellt werden, nicht bei jpeg.

Funktionen:

Hülle ist eine Funktion, welche über die drei Funktionen f(x), g(x) und h(x) gelegt wird. Dabei wird Y als Platzhalter für diese verwendet. Z.B. gibt sin(Y) den Sinus für jede definierte der drei Funktionen zurück. So kann man auch ganz einfach eine gleiche Dämpfung für Schwingungen erzeugen, z.B. mit 2*exp(-.5*x)*Y als Hülle, sin(x) als f(x) und sin2(x) als g(x).

Im Bereich der Funktionsterme kann die Farbe der bis zu drei Graphen bestimmt werden und ob der entsprechende Term in die Grafik mit hinein geschrieben werden soll. Es kann auch ausgewählt werden, ob die Punkte verbunden werden sollen oder nicht und ob das Innere (Füllen 1) oder das Äußere (Füllen 2) des Graphen mit eingefärbt werden soll.
Ableitung stellt den abgeleiteten Graphen dar. Im Bild wird dieser dargestellt als f'(x)=[...]'.
Integral wählen Sie für die Summenfunktion in dem dargestellten Bereich (integrieren über ...). Hierbei werden die Funktionswerte der Reihe nach aufaddiert. Im Bild wird der Integralsterm dargestellt als F(x)=S[...]. Sie können auch eine Konstante C festlegen, welche zum Integral addiert wird.
Unter Von ... bis können Sie einen Definitionsabschnitt für die Funktion auswählen (abschnittsweise definierte Funktion). Geben Sie die gewünschten x-Werte ein. Wird nichts angegeben, so umfasst der Definitionsabschnitt den gesamten Wertebereich von x. Auch Konstanten wie pi sind erlaubt.

Anzeigeeigenschaften:

Bei Bildtyp können Sie zwischen png (Kompressionslevel 1), gif (GIF87a) und jpeg (Qualität 90 Prozent) wählen. png wird empfohlen.
Breite und Höhe beziehen sich auf die Größe der angezeigten Grafik und haben mit den Wertebereichen nichts zu tun (außer bei Iterationen). Mindestgröße ist 200, Maximalgröße 500.
Die Wertebereiche geben an, in welchem Bereich die Graphen dargestellt werden. Der Maximalwert für die Ein- und Ausgabe ist 100000 (bzw. - 100000). Durch eine logarithmische Skala kann der Wertebereich der y-Achse auf etwa bis zu 10³⁰⁰ erhöht werden. Auch Konstanten wie pi sind erlaubt.
Intervalle gibt an, wie viele Abschnitte auf den jeweiligen Achsen durch Hilfslinien und Wertangaben gekennzeichnet werden. Das Maximum ist 250 oder die halbe Breite / Höhe. Die Breite sollte durch die Zahl der Intervalle auf der x-Achse ohne Rest teilbar sein, die Höhe durch die Zahl derer auf der y-Achse, aber dies ist kein Muss.
Gitternetzlinien bestimmt die Anzahl der durchgezogenen Linien. Maximum ist wieder 250 oder die halbe Breite / Höhe.
Länge der Hilfslinien bestimmt die Länge der Linien an den Intervallgrenzen. Die Maximallänge ist 500.
Kommastellen bestimmt die Anzahl der dargestellten Nachkommastellen bei den Wertangaben und bei der Berechnung einzelner Werte. Maximum ist 12.
Lücke am Ursprung gibt die Größe des leeren Bereiches in der Darstellung des Ursprungs an. Um dies nicht darzustellen, geben Sie hier eine 0 ein.
Graphenbreite bestimmt die Linienstärke der Funktionsgraphen. Erlaubt sind positive ganze Zahlen bis 200.

Log. Skala bestimmt, ob die x- und y-Achse linear oder logarithmisch dargestellt wird. Nein heißt linear. Als logarithmische Basen stehen 2, e, 10 und 100 zur Verfügung, es kann auch ein individueller Wert angegeben werden. Die logarithmische Darstellung zeigt keine integrierten oder abgeleiteten Graphen sowie Iterationen an!

Bei Quadranten finden sich mehrere Knöpfe, mit denen sich schnell die dargestellten Quadranten ändern lassen. Wenn Sie deren Größe ändern möchten, tun Sie das, bevor Sie auf einen der Knöpfe klicken.

Die Häkchen, wenn gesetzt, sorgen für die Darstellung der Gitternetzlinien, der Achsenlinen (x- und y-Achse), Beschriftung (Wertangaben und Achsenkennzeichnung), Hilfslinien, des Rahmens und eventuell auftretender Fehlermeldungen.

Mit Def. Q= kann eine Formel definiert und dann Q als Substitution in den drei Formeltermen verwendet werden. Beim Ersetzen wird der Q-Term in Klammern gesetzt, um unerwartete Ergebnisse zu verhindern. Z.B. wird 1+x für Q zu (1+x).

In der nächsten Zeile können Sie die Anzeigenfarben festlegen und Antialiasing auswählen (was oft besser aussieht). Pole, wenn ausgewählt, erkennt Polstellen und verbindet sie nicht. Leider ist diese Funktion alles andere als perfekt.
Sie können hier auch festlegen, ob Linien und Beschriftung im Vordergrund, im Hintergrund oder überhaupt nicht gezeichnet werden.
Bei Gamma, können Sie eine Gammakorrektur machen, geben Sie hier einen Wert größer als 0 ein, 1 ist Standard.
Bei Helligkeit, geben Sie einen Wert zwischen -255 und 255 ein, 0 ändert die Helligkeit nicht.
Bei Kontrast, geben Sie einen Wert zwischen -100 und 100, 0 ändert nichts.
Bei Rotation, geben Sie den Winkel in Grad ein, um den das Bild gedreht werden soll.
Prägen, Unscharf, Negativ, Graustufen, Skizze und Nur Kanten erzeugen diese speziellen Effekte, wenn ausgewählt.
Bei Selbstdefinierte Farbe können drei beliebige Farben bestimmt werden, die sich dann als Selbst 1-3 in den Farblisten auswählen lassen. Geben Sie einen 6-stelligen Hexcode ein, z.B. ffffff für Weiß. Farbrechner zur Bestimmung von Farbcodes.

Der angezeigte Graph kann niemals ein genaues Abbild der Funktion sein, sondern ist immer nur eine möglichst gute Näherung.

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Einzelnen Wert ausrechnen

Geben Sie eine Funktion nach obiger Syntax ein, oder klicken Sie auf 1, 2 oder 3, um eine Funktion zu übernehmen. Wählen Sie dann einen Eingabewert (keine Formel) und klicken Sie auf Errechnen, um den Funktionswert für diesen Eingabewert auszurechnen. Das Ergebnis wird entsprechend der Angabe bei Kommastellen gerundet. Werte der Funktion phi, Ableitungen, Integrale und Iterationen können nicht berechnet werden.
Geben Sie mehrere durch Leerzeichen getrennte Werte ein (z.B. 1 2 3 4 5), um eine Ergebnistabelle zu bekommen. Klicken Sie auf +10 für die Werte von 1 bis 10 oder auf -10 für die Werte von -1 bis -10. Sie können auch auswählen, ob Sie nur die Ergebnisse, eine Tabelle mit den x-Werten oder eine strichpunktseparierte CSV-Liste haben möchten.
Dieses Werkzeug kann auch als Taschenrechner verwendet werden. Geben Sie einfach eine Aufgabe wie 2*2 ein und keinen Eingabewert.

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Laden & Speichern

Um eine Einstellung zu speichern, kopieren Sie den Pfadtext und speichern Sie ihn in einer Textdatei. Sie können ihn später wieder in dieses Feld kopieren und den Graph neu laden.

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Tricks & Spaß

Sie können diesen Plotter auch für geometrische Desings, wie für Logos und dergleichen, verwenden. Dafür sind vor allem die Füllfunktionen nützlich, zusammen mit einer Hintergrundfarbe. Obwohl man auf die obigen mathematischen Funktionen beschränkt ist, ist mit etwas Übung eine Vielzahl an unterschiedlichsten Bildern erstellbar.

Beispiele:
Um die Beispiele anzusehen, kopieren Sie den Code in das Laden & Speichern Feld (dieses vorher löschen) und klicken Sie auf Graph laden.

Sternenhimmel

Setzen Sie den Hintergrund auf Schwarz und entfernen Sie Linien und Beschriftung. Nehmen Sie den Term rand2(-5#5#3), wählen Sie eine Farbe, die zu Sternen passt (Gelb, Rot oder auch Blau) und stellen Sie Punkte ein. Wenn Sie mehr Sterne möchten, dann verwenden Sie diesen Term für alle drei Graphen. Weniger bekommen Sie z.B. mit dem Term rand2(-10#10#3). Im folgenden Code habe ich auch Helligkeit und Kontrast geändert und die Anzahl der blauen Sterne reduziert. Jedes Mal, wenn Sie dieses Bild erzeugen, erhalten Sie eine andere Ansicht.

a0=2&a1=Q&a2=Q&a3=Q*5&a4=5&a5=3&a6=0&a7=&a8=&a9=&b0=500&b1=500&b2=-5&b3=5&b4=-5&b5=5&b6=10&b7=10&b8=5&b9=5&c0=3&c1=0&c2=1&c3=1&c4=1&c5=&c6=1&c7=0&c8=0&c9=0&d0=1&d1=20&d2=20&d3=0&d4=&d5=&d6=&d7=&d8=&d9=&e0=&e1=&e2=&e3=rand2(-5#5#3)&e4=13&e5=14&e6=13&e7=12&e8=1&e9=1&f0=1&f1=1&f2=1&f3=-80&f4=-50&f5=&f6=&f7=&f8=&f9=&g0=&g1=0&g2=1&g3=0&g4=0&g5=0&g6=Y&g7=ffffff&g8=ffffff&g9=ffffff&h0=1&z

Eine Art Star Trek Logo

Nehmen Sie -pow(x#2)+9 als erste und -pow(x#2)+5 als zweite Funktion. Die y-Achse läuft von 0 bis 10. Entfernen Sie wieder Linien und Beschriftung und machen Sie den Hintergrund Schwarz. Für den ersten Graph wählen Sie eine helle Farbe, für den zweiten Schwarz. Setzen Sie beide auf Füllen 1.

a0=2&a1=-pow(x#2)+9&a2=-pow(x#2)+5&a3=&a4=5&a5=13&a6=8&a7=&a8=&a9=1&b0=500&b1=500&b2=-5&b3=5&b4=0&b5=10&b6=10&b7=10&b8=5&b9=5&c0=3&c1=0&c2=1&c3=1&c4=1&c5=1&c6=1&c7=0&c8=0&c9=0&d0=1&d1=20&d2=20&d3=0&d4=&d5=&d6=&d7=&d8=&d9=&e0=&e1=&e2=&e3=&e4=13&e5=14&e6=13&e7=12&e8=2&e9=2&f0=0&f1=1&f2=1&f3=0&f4=0&f5=&f6=1&f7=&f8=&f9=&g0=&g1=0&g2=1&g3=0&g4=0&g5=0&g6=Y&g7=ffffff&g8=ffffff&g9=ffffff&h0=1&z

Karierter Wirbelsturm

Einfach nur so zum Spaß.

a0=2&a1=cat(2*(sqr(abs(x))-x/8)#x)&a2=6&a3=rand2(-2#0#2)&a4=1&a5=1&a6=9&a7=&a8=&a9=&b0=500&b1=500&b2=-5&b3=5&b4=-2&b5=8&b6=10&b7=10&b8=5&b9=5&c0=3&c1=50&c2=&c3=&c4=&c5=1&c6=1&c7=0&c8=0&c9=0&d0=1&d1=50&d2=50&d3=0&d4=&d5=&d6=&d7=&d8=&d9=&e0=&e1=&e2=&e3=&e4=18&e5=6&e6=13&e7=1&e8=2&e9=3&f0=0&f1=1&f2=1&f3=0&f4=0&f5=&f6=&f7=&f8=&f9=&g0=&g1=1&g2=1&g3=0&g4=0&g5=0&g6=Y&g7=ffffff&g8=ffffff&g9=ffffff&h0=1&z

Propeller

a0=2&a1=x&a2=abs(x)^.9*sig(x)&a3=-(x/25)^3&a4=17&a5=37&a6=17&a7=&a8=&a9=&b0=500&b1=500&b2=-1000&b3=1000&b4=-1000&b5=1000&b6=10&b7=10&b8=5&b9=5&c0=3&c1=30&c2=&c3=&c4=&c5=&c6=&c7=0&c8=0&c9=0&d0=1&d1=10&d2=10&d3=0&d4=&d5=&d6=&d7=&d8=-120&d9=120&e0=&e1=&e2=&e3=&e4=37&e5=13&e6=13&e7=37&e8=2&e9=2&f0=2&f1=1&f2=1&f3=0&f4=0&f5=&f6=&f7=&f8=&f9=&g0=&g1=2&g2=1&g3=90&g4=0&g5=0&g6=Y&g7=ffffff&g8=ffffff&g9=ffffff&h0=1&z

Seltsames Object

a0=2&a1=2^x&a2=x^2&a3=-200*x+3000&a4=6&a5=13&a6=13&a7=&a8=&a9=&b0=400&b1=400&b2=4&b3=15&b4=20&b5=1010&b6=10&b7=10&b8=5&b9=5&c0=3&c1=0&c2=&c3=&c4=&c5=&c6=&c7=0&c8=0&c9=0&d0=1&d1=20&d2=20&d3=0&d4=&d5=&d6=&d7=&d8=&d9=&e0=&e1=&e2=&e3=&e4=13&e5=14&e6=11&e7=11&e8=2&e9=2&f0=3&f1=&f2=1&f3=0&f4=0&f5=&f6=1&f7=&f8=&f9=&g0=&g1=1&g2=1&g3=35&g4=0&g5=0&g6=Y&g7=ffffff&g8=ffffff&g9=ffffff&h0=1&z

Primzahlsäge

a0=2&a1=prime(x)&a2=x-25&a3=x-300&a4=4&a5=3&a6=38&a7=&a8=&a9=&b0=500&b1=500&b2=500&b3=0&b4=0&b5=500&b6=10&b7=10&b8=5&b9=5&c0=3&c1=0&c2=1&c3=1&c4=1&c5=&c6=1&c7=0&c8=0&c9=0&d0=&d1=20&d2=20&d3=0&d4=&d5=&d6=&d7=&d8=&d9=&e0=&e1=&e2=&e3=&e4=38&e5=14&e6=21&e7=1&e8=2&e9=2&f0=2&f1=1&f2=1&f3=0&f4=0&f5=&f6=&f7=&f8=&f9=&g0=&g1=0&g2=1&g3=140&g4=0&g5=0&g6=Y&g7=ffffff&g8=ffffff&g9=ffffff&h0=1&z

Fehlt etwas? Wünsche, Anregungen und Kritik bitte an juergen [at] jumk [dot] de

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Viel Spaß ;-)

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